Question

已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由

Answer 1

解：(1)设P(x,y)，则
化简得x2－=1(y≠0)…………………………………………4分
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线x2－=1联立消去y得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由题意知3－k2≠0且△＞0
设B(x1,y1),C(x2,y2)，
则
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)
＝
因为x1、x2≠－1
所以直线AB的方程为y＝(x＋1)
因此M点的坐标为()
,同理可得
因此
＝
＝0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，
同理可得
因此＝0
综上＝0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F

解析