Question

（本小题满分15分）如图，设P是抛物线：上的动点。过点做圆的两条切线，交直线：于两点。

   （Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离。

（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

   （Ⅰ）解：因为抛物线C₁的准线方程为：

       所以圆心M到抛物线C₁准线的距离为：

   （Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C₁在点P处的切线交直线于点D。

       再设A，B，D的横坐标分别为

       过点的抛物线C₁的切线方程为：

                （1）

       当时，过点P（1，1）与圆C₂的切线PA为：

       可得

       当时，过点P（—1，1）与圆C₂的切线PA为：

       可得

      

       所以

       设切线PA，PB的斜率为，则

                    （2）

          （3）

       将分别代入（1），（2），（3）得

      

       从而

       又

       即

       同理，

       所以是方程的两个不相等的根，从而

       因为

       所以

       从而

       进而得

       综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为