Question

已知点A（0，6），圆C：x²+y²+10x+10y=0．
（1）求过点A且与圆C相切于原点O的圆C₁的方程；
（2）求直线2x+3y+

26

-15=0被圆C₁所截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标，由所求圆与圆C相切与原点，得到两圆心与原点三点共线，由C和原点的坐标确定出三点共线的直线方程，得到所求圆的圆心在此直线上，由线段OA为所求圆中的弦，根据垂径定理得到圆心一定在弦AO的垂直平分线上，找出线段AO的垂直平分线，联立两直线方程得出方程组，求出方程组的解得到圆心的坐标，进而利用两点间的距离公式求出圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（2）由第一问求出的圆的方程得到圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离即为弦心距，再由圆的半径，利用勾股定理求出弦长得一半，即可求出直线被圆所截得的弦长．

解答：（ 本题满分（14分） ）
解：（1）由x²+y²+10x+10y=0，得（x+5）²+（y+5）²=50，
所以圆C的圆心坐标（-5，-5），
而圆C₁的圆心C₁与圆心C、原点O共线，
故圆心C₁在直线y=x上，又圆C₁同时经过点O与点A（0，6），
所以圆心C₁又在直线y=3上，则有：

y=x y=3

，
解得：

x=3 y=3

，即圆心C₁的坐标为（3，3），
又|OC₁|=

32+32

=3

2

，即半径r=3

2

，
故所求圆C₁的方程为（x-3）²+（y-3）²=18；

（2）∵圆心C₁到直线2x+3y+

26

-15=0的距离d=

|6+9+ 26 -15|

13

=

2

，
故所求的弦长为：2

r2-d2

=2

18-2

=8．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，遇到直线与圆相交时，常常根据垂径定理作出所截得弦的弦心距，由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．