Question

9．如图，棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F在线段A₁B₁上运动，且|EF|=1，点G在线段AD上运动，H是线段CD的中点，设DG=x（0＜x＜2），则三棱锥G-EFH的体积V（x）的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由已知求出S_△EFH=$\sqrt{2}$，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出D到平面EFH的距离d=$\frac{|\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{x}{\sqrt{2}}$，由此求出三棱锥G-EFH的体积V（x）=$\frac{1}{3}x$，0＜x＜2．从而能得到三棱锥G-EFH的体积V（x）的大致图象．

解答 解：∵棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F在线段A₁B₁上运动，
且|EF|=1，点G在线段AD上运动，H是线段CD的中点，
∴S_△EFH=$\frac{1}{2}×|EF|×{B}_{1}C$=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，2），C（0，2，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
设平面DCB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∵DG=x（0＜x＜2），∴$\overrightarrow{DG}$=（x，0，0），
∴D到平面EFH的距离d=$\frac{|\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{x}{\sqrt{2}}$，
∵0＜x＜2，∴0＜d＜$\sqrt{2}$，
∴三棱锥G-EFH的体积V（x）=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{x}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}x$，0＜x＜2．
∴三棱锥G-EFH的体积V（x）的图象大致如右图所示：
故选：A．

点评 本题考查三棱锥体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．