Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高h=（　　）

• A．

  6

  3

• B．

  6

  6

• C．

  3

• D．

  2 3

  3

Answer 1

分析：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为1的球，该棱柱的高为h，则球心到正三棱柱底面ABC的距离d=

1

2

h，进而根据底面半径r，球心距d，球半径R构成直角三角形，满足勾股定理，可得底面半径r，再由等边三角形外接圆半径与边长的关系，可得底面边长a，进而得到底面面积，和棱柱的体积，利用导数法可得该棱柱体积最大时，高h的值．

解答：解：设该棱柱的高为h，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为1的球，
可得球心到正三棱柱底面ABC的距离d=

1

2

h
则正三棱柱底面ABC的底面半径r=

1-d2

=

1- 1 4 h2

则正三棱柱底面ABC的底面边长a=

3

r=

3- 3 4 h2

则正三棱柱底面ABC的底面面积S=

3

4

a2=

3 3

4

-

3 3

16

h2
则正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=

1

3

Sh=

3

4

h-

3

16

h3
则V′=

3

4

-

3 3

16

h2
令V′=0，则h=

2 3

3

故当该棱柱体积最大时，高h=

2 3

3

故选D

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，解答本题的关键是熟练掌握底面半径r，球心距d，球半径R构成直角三角形，满足勾股定理，及正三角形边长，面积，外接圆半径之间的关系．