Question

已知两圆C₁：x²+y²-2y=0，C₂：x²+（y+1）²=4的圆心分别为C₁，C₂，P为一个动点，且直线PC₁，PC₂的斜率之积为-

1

2

（1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C₁C|=|C₁D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由两圆C₁：x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1；C₂：x²+（y+1）²=4，得两圆的圆心坐标分别为C₁（0，1），C₂（0，-1）．设动点P的坐标为（x，y），利用斜率计算公式可得直线kPC1=

y-1

x

（x≠0），kPC2=

y+1

x

(x≠0)，再利用已知化简即可．
（2）由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系．要使|C₁C|=|C₁D|，必须C₁N⊥l，即k•kC1N=-1．看是否有解即可．

解答：解：（1）由两圆C₁：x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1；C₂：x²+（y+1）²=4．
得两圆的圆心坐标分别为C₁（0，1），C₂（0，-1）
设动点P的坐标为（x，y），则直线kPC1=

y-1

x

（x≠0），kPC2=

y+1

x

(x≠0)，
由已知得

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

2

(x≠0)，即

x2

2

+y2=1(x≠)．
所以动点P的轨迹M的方程为

x2

2

+y2=1(x≠0)．
（2）假设存在满足条件的直线l．
∵点A（2，0）在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，
因此直线l斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y=k（x-2）
由方程组

x2 2 +y2=1 y=k(x-2)

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0    ①
依题意△=-8（2k²-1）＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．
当得-

2

2

＜k＜

2

2

时，设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为N（x₀，y₀），
由①可得x1+x2=

8k2

2k2+1

，
则x0=

x1+x2

2

=

4k2

2k2+1

．
∴y0=k(x0-2)=k(

4k2

2k2+1

-2)=

-2k

2k2+1

                
要使|C₁C|=|C₁D|，必须C₁N⊥l，即k•kC1N=-1．
∴∴k•

-2k 2k2+1 -1

4k2 2k2+1 -0

=-1，即k2-k+

1

2

=0   ②
∵△1=1-4×

1

2

=-1＜0或，∴k2-k+

1

2

=0无解．           
所以不存在直线l，使得|C₁C|=|C₁D|．
综上所述，不存在直线l，使得得|C₁C|=|C₁D|．

点评：本题综合考查了圆的性质、椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、垂直与斜率的关系等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．