Question

已知△ABC的内切圆的三边AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，已知B（-

2

，0），C（

2

，0），内切圆圆心为I（1，t）（t≠0），设点A的轨迹为L．
（1）求L的方程；
（2）设直线y=2x+m交曲线L于不同的两点M，N，当|MN|=2

5

时，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件根据双曲线定义知：点A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（除去点E），由此能求出l的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2-y2=1 y=2x+m

，得3x²+4mx+m²+1=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出m的值．

解答： 解：（1）设点A（x，y），由题意得：
|AB|-|AC|=|BD|-|CP|=|BE|-|CE|=（1+

2

）-（

2

-1）=2，
根据双曲线定义知：点A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（除去点E），
∴l的方程为x²-y²=1，x＞1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2-y2=1 y=2x+m

，得3x²+4mx+m²+1=0，
∵直线y=2x+m交x²-y²=1（x＞1）于不同的两点M，N，
∴方程3x²+4mx+m²+1=0的两根均在（1，+∞）内，
∴

△=16m2-3×4×(m2+1)＞0 - 4m 2×3 ＞1 3×12+4m×1+m2+1＞0

，
∴m＜-

3

，且m≠-2，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

m2+1

3

，
∴|MN|=

1+22

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

4m2-12 9

=

2 5

3

×

m2-3

，
∵|MN|=2

5

，∴

2 5

3

×

m2-3

=2

5

，
∴m²=12，
∵m＜-

3

，且m≠-2，∴m=-2

3

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．