Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求平面AC₁D与平面ACC₁A₁所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先证明AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥AD，再利用线面垂直的判定定理，即可证明AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）利用三角形中位线的性质，证明A₁B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AC₁D与平面ACC₁A₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求锐二面角的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB
所以AA₁⊥平面ABC  …（1分）
因为AD?平面ABC，AA₁∥CC₁，所以CC₁⊥AD  …（2分）
又因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC     …（3分）
因为CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁；    …（4分）
（Ⅱ）证明：连结A₁C，交AC₁于点O，连结OD
因为ACC₁A₁为正方形，所以O为AC₁中点
又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线
所以A₁B∥OD   …（6分）
因为OD?平面AC₁D，AB₁?平面AC₁D
所以A₁B∥平面AC₁D…（8分）
（Ⅲ）解：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz
设AB=1，则A（0，0，0），
∴=，=（0，1，1）…（9分）
设平面AC₁D的法向量为=（x，y，z），则有，
∴，∴x=-y=z
取x=1，得=（1，-1，1）…（10分）
又因为AB⊥平面ACC₁A₁
所以平面ACC₁A₁的法向量为…（11分）
∴cos＜＞===       …（12分）
所以，平面AC₁D与平面ACC₁A₁所成的锐二面角的余弦值为…（13分）
点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查面面角，考查空间向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．