Question

设椭圆的一个顶点为（0，），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

Answer 1

解：（1）椭圆的顶点为（0，），即b=，
e==，所以a=2，
∴椭圆的标准方程为+=1 …（4分）
（2）斜率不存在，l的方程为x=1，|MN|=3，|AB|=2，=4．
若直线斜率存在，则设直线l方程为y=k（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得：|MN|=|x₁-x₂|==．
由 消去y，并整理得x²=，
|AB|=|x₃-x₄|=4 ，
∴=4为定值．
分析：（1）由椭圆的顶点为（0，）和e==，能求出椭圆的标准方程．
（2）分情况讨论：斜率不存在，l的方程为x=1，|MN|=3，|AB|=2，=4．若直线斜率存在，则设直线l方程为y=k（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），|MN|=|x₁-x₂|=．|AB|=|x₃-x₄|，由此能证明=4为定值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．