Question

已知椭圆与直线l：mx-y-m=0
（1）求证：对于m∈R，直线l与椭圆C总有两个不同的交点；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，若|AB|=，求直线l的倾斜角．

Answer 1

【答案】分析：（1）分m=0和m≠0两种情况分别判断直线和椭圆C的位置关系即可．m≠0时，联立直线方程与椭圆方程根据判别式和0的关系即可得到结论．
（2）联立直线方程与椭圆方程，再结合韦达定理以及弦长公式即可解决问题．
解答：解：（1）证明：1、当m=0，直线方程y=1，与圆有两个交点，符合题意
2、当m≠0，将椭圆与直线l：mx-y-m=0联立得
（3m²+2）x²-6m²x+3m²-6=0
△=（6m²）²-4（3m²+2）×（3m²-6）=48m²+48＞0，符合题意
∴对于m∈R，直线l与椭圆C总有两个不同的交点
（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则x₁+x₂=x₁•x₂=|AB|=
=
==
解得∴l的倾斜角为或
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆有关数值之间的关系，以及椭圆与直线的位置关系并且结合韦达定理解决问题．