Question

若cosα=-

4

5

，α是第三象限的角，则

1+tan α 2

1-tan α 2

=

-

1

2

．

Answer 1

分析：利用平方关系及α所在的象限可求出sinα，由商数关系可得出tanα，利用正切的倍角公式可求得tan

α

2

，再根据α所在的象限可判断出

α

2

所在的象限，进而确定tan

α

2

的值即可．

解答：解：∵cosα=-

4

5

，α是第三象限的角，∴sinα=-

1-(- 4 5 )2

=-

3

5

，
∴tanα=

- 3 5

- 4 5

=

3

4

．
∵tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

，∴

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

3

4

，化为，3tan2

α

2

+8tan

α

2

-3=0，解得tan

α

2

=

1

3

或-3．
∵α是第三象限的角，∴2kπ+π＜α＜2kπ+

3π

2

，∴kπ+

π

2

＜

α

2

＜kπ+

3π

4

（k∈Z）．
①当k=2n（n∈N^*）时，2nπ+

π

2

＜

α

2

＜2nπ+

3π

4

，可知

α

2

是第二象限的角，则tan

α

2

＜0，∴tan

α

2

=-3；
②当k=2n+1（n∈N^*）时，2nπ+

3π

2

＜

α

2

＜2nπ+

7π

4

，可知

α

2

是第四象限的角，则tan

α

2

＜0，∴tan

α

2

=-3；
因此tan

α

2

=

1

3

应舍去，故tan

α

2

=-3．
∴

1+tan α 2

1-tan α 2

=

1-3

1-(-3)

=-

1

2

．
故答案为-

1

2

．

点评：熟练掌握同角三角函数基本关系式、倍角公式、由α所在的象限判断

α

2

所在象限是解题的关键．