Question

设A={1，2，3，4，5，6}，则满足条件f（f（x））=f（x）的映射f：A→A的个数为

1. A.
   6⁶
2. B.
   720
3. C.
   960
4. D.
   1057

Answer 1

D
分析：由f[f（x）]=f（x）可知集合A={1，2，3，4，5，6}的像f（A）（即所有f（x）构成的集合）在映射f下保持不变，即对于任意x∈f（A）总有f（x）=x，则问题转化为对f（A）的讨论，根据组合数直接写出各种情况的映射的个数，最后求和即可．
解答：由f[f（x）]=f（x）可知集合A={1，2，3，4，5，6}的像f（A）（即所有f（x）构成的集合）在映射f下保持不变，即对于任意x∈f（A）总有f（x）=x，则问题转化为对f（A）的讨论：
（1）f（A）中有6个元素时，只能为f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=5，f（6）=6．共1种．
（2）f（A）中有5个元素时，比如f（A）={1，2，3，4，5}，只能为f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=5，f（6）=1，2，3，4，5，共×5=30种．
（3）f（A）中有4个元素时，比如f（A）={1，2，3，4}，只能为f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=1，2，3，4，f（6）=1，2，3，4，共×4²=240种．
（4）f（A）中有3个元素时，同理×3³=540种．
（5）f（A）中有2个元素时，同理×2⁴=240种．
（6）f（A）中有1个元素时，同理×1=6种．
共1057种．
故选D．
点评：本题考查了映射、排列、组合及简单计数问题知识，由于形式比较我，所以可分类讨论就能做出答案．