(本小题满分14分)
已知集合是满足下列性质的函数
的全体, 存在非零常数
, 对任意
, 有
成立.
(1) 函数是否属于集合
?说明理由;
(2) 设, 且
, 已知当
时,
,
求当
时,
的解析式.
(3)若函数,求实数
的取值范围.
(1) .
(2)当
时,
.
(3){k|k= nπ, n∈Z}
【解析】(1) 假设函数属于集合
, 则存在非零常数
, 对任意
, 有
成立,即:
成立.在不成立的情况下,易用反例说明.因而 令
, 则
, 与题矛盾. 故
.
(2)解决本题的关键是,根据1<x+4<2,从而根据
时,
求出f(x)的表达式.
(3) 解本题应讨论当k=0和k≠0两种情况.
然后解决本题的突破口是对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立,只有T=,下面再对T=1和T=-1两种情况进行讨论.
解:(1) 假设函数属于集合
, 则存在非零常数
, 对任意
, 有
成立,
即: 成立. 令
, 则
, 与题矛盾. 故
. …………5分
注:只要能判断即可得1分.
(2) ,
且
, 则对任意
, 有
,
设, 则
,
…………8分
当时,
,
故当时,
. …………10分
3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M. …………11分
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数T,对任意x∈R,有
f(x+T)=T f(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx
.成立,只有T=, …………12分
①当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ, m∈Z .
②当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx 成立,
即sin(kx-k+π)= sinkx 成立,
则-k+π=2mπ, m∈Z ,即k=-(2m-1)π, m∈Z . …………13分
综合得,实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z} …………14分
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=
,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求
及数列{
}的通项公式;
(3)记,求数列{
}的前n项和
,并证明
.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求,
满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范围;
⑶ 证明:(
)
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