Question

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．从袋中随机抽取一个球，其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，其编号记为b．则函数f（x）=x²+ax+b有零点的概率是

1

2

．

Answer 1

分析：由二次函数的性质，易得函数f（x）=x²+ax+b有零点的充要条件为a²≥4b，进而分析可得ab的取值情况有12种，分b=1、2、3、4四种情况讨论，求出每种情况下a可取的值，即可得满足函数f（x）=x²+ax+b有零点的情况数目，由等可能事件的概率计算可得答案．

解答：解：若函数f（x）=x²+ax+b有零点，则有a²≥4b，
依题意，a有4种取法，b有3种取法，共12种情况，
对b分类讨论可得：
当b=1时，则有a²≥4，可得a=2、3、4，故此时满足函数f（x）=x²+ax+b有零点的情况有3种，
当b=2时，则有a²≥8，可得a=3、4，故此时满足函数f（x）=x²+ax+b有零点的情况有2种，
当b=3时，则有a²≥12，可得a=4，故此时满足函数f（x）=x²+ax+b有零点的情况有1种，
当b=4时，则有a²≥16，可得a=4，但a≠b，故此时不能满足函数f（x）=x²+ax+b有零点，
共有3+2+1=6种情况；
则函数f（x）=x²+ax+b有零点的概率是

6

12

=

1

2

；
故答案为

1

2

．

点评：本题考查等可能事件的概率，解题的关键是得到函数f（x）=x²+ax+b有零点的充要条件，进而对b分类讨论．