Question

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集为（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（0，1）

C．（-1，0）

D．（0，1）∪（1，2）

Answer 1

分析：由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，易作出符合题意的函数f（x）的草图，
进而得到不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集．

解答：解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数，
又∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
作出满足题意的函数f（x）的草图，如图所示：

由图知，
不等式（x-1）f（x-1）＜0
?

x-1＞0 f(x-1)＜0

或

x-1＜0 f(x-1)＞0

?

x-1＞0 0＜x-1＜1

或

x-1＜0 -1＜x-1＜0

，
解得1＜x＜2或0＜x＜1．
所以不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集为（1，2）∪（0，1）．
故选D．

点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中奇函数在对称区间上单调性相同，是解答本题的关键．