Question

已知函数f（x）=asinx-

3

2

（a＞0），且在[0，

π

2

]上的最大值为

π-3

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，π）内零点个数，并加以证明．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,根的存在性及根的个数判断

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据当x∈（0，

π

2

）时，f′（x）＞0恒成立，可得f（x）在（0，

π

2

）单调递增，f（x）_max=f（

π

2

）=

π-3

2

，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由y=f（x）在区间（0，

π

2

）上单调递增，以及函数零点的判定定理求得y=f（x）在（0，

π

2

）上有且只有一个零点．当x∈[

π

2

，π]时，利用导数以及函数零点的判定定理可得f（x）在区间（

π

2

，m）内无零点，在f（x）在区间（m，π）内有且只有一个零点，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得：f′（x）=a（sinx+xcosx），∵x∈（0，

π

2

），∴sinx+xcosx＞0，
故当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，

π

2

）单调递增，
f（x）_max=f（

π

2

）=

aπ

2

-

3

2

=

π-3

2

，求得a=1，可得f（x）=xsinx-

3

2

．
（Ⅱ）由（1）可知f（x）=xsinx-

3

2

，f（0）=-

3

2

，f（

π

2

）=

π-2

2

＞0，
且y=f（x）在区间（0，

π

2

）上单调递增，故y=f（x）在（0，

π

2

）上有且只有一个零点．
当x∈[

π

2

，π]时，设g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，则g′（x）=2cosx-xsinx，
显然当x∈[

π

2

，π]时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）=f′（x）在[

π

2

，π]上是减函数．
又∵g（

π

2

）=1＞1，g（π）=-π＜0，∴必有∈m（

π

2

，π），使g（m）=0．
得到①当x∈（

π

2

，m）时，g（x）＞g（m）=0，
此时f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）≥f（

π

2

）=

π-3

2

＞0，f（x）在区间（

π

2

，m）内无零点．
②同理x∈（m，π）时，g（x）＜g（m）=0，
此时f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（m）＞0，f（π）=-π-

3

2

＜0，
f（x）在区间（m，π）内有且只有一个零点．
综上所述，f（x）在区间（0，π）内有两个零点．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．