【题目】如图,将边长为2的正方形沿对角线折叠,使得平面平面,又平面.
(1)若,求直线与直线所成的角;
(2)若二面角的大小为,求的长度.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由题意可知,AB⊥AD, AE⊥平面ABD,以A为原点,AB、AD、AE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,作,垂足为,可得,得到C点坐标,利用向量法能求得,即可得到所求角.
(2)设的长度为,则,由题意知平面,可得平面的一个法向量为,再求得平面的法向量为, ,解得a即可.
∵正方形边长为2 ∴,,
又平面,∴以点为原点,,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系.
作,垂足为,∵平面平面,平面,平面平面,∴平面∵ ∴点为的中点,,
(1)∵
∴,,,,
∴, ∴
∴ ∴直线与直线所成角为;
(2)设的长度为,则
∵平面 ∴平面的一个法向量为
设平面的法向量为,又,
∴, ∴,解得:,取,则,
∴平面的一个法向量为
∴
∵二面角的大小为 ∴,解得:
∴的长度为.
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【题目】在直角坐标系中,,以为边在轴上方作一个平行四边形,满足.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)将动点的轨迹方程所表示的曲线向左平移个单位得曲线,若是曲线上的一点,当时,记为点到直线距离的最大值,求的最小值.
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【题目】蚌埠市某中学高三年级从甲(文)、乙(理)两个科组各选出名学生参加高校自主招生数学选拔考试,他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分是,乙组学生成绩的中位数是.
(1)求和的值;
(2)计算甲组位学生成绩的方差;
(3)从成绩在分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲组至少有一名学生的概率.
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【题目】4支足球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间胜率都是.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是( )
A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名
C.恰有两支球队并列第一名的概率为D.只有一支球队名列第一名的概率为
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【题目】在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在A点投篮一次,以后都在B点投篮;方案乙:始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为,命中一次记3分,没有命中得0分;在B点命中的概率为,命中一次记2分,没有命中得0分,用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果的值不低于3分,则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮3次.
(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分的分布列和数学期望.
(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若射线()与直线和曲线分别交于,两点,求的值.
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【题目】2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划,今日,作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成,市有关部门准备对项目进行调查,并根据调查结果决定是否验收,调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图,相关规则为:①调查对象为本市市民,被调查者各自独立评分;②采用百分制评分, 内认定为满意,80分及以上认定为非常满意;③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收;④用样本的频率代替概率.
(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率;
(2)若从该市的全体市民中随机抽取3人,试估计恰有2人非常满意该项目的概率;
(3)已知在评分低于60分的被调查者中,老年人占,现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因,并从中选取2人担任群众督察员,记为群众督查员中老年人的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.
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【题目】2012年12月18日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一,郑州市正式发布数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点,以9个站点测得的的平均值为依据,播报我市的空气质量.
(Ⅰ)若某日播报的为118,已知轻度污染区的平均值为74,中度污染区的平均值为114,求重度污染区的平均值;
(Ⅱ)如图是2018年11月的30天中的分布,11月份仅有一天在内.
组数 | 分组 | 天数 |
第一组 | 3 | |
第二组 | 4 | |
第三组 | 4 | |
第四组 | 6 | |
第五组 | 5 | |
第六组 | 4 | |
第七组 | 3 | |
第八组 | 1 |
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的为标准,如果小于180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率,求该校周日进行社会实践活动的概率;
②在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价,设抽取到不小于180的天数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召,组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁4名员工进行核酸检测,现采用抽签法决定检测顺序,在“员工甲不是第一个检测,员工乙不是最后一个检测”的条件下,员工丙第一个检测的概率为( )
A.B.C.D.
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