Question

如图所示，已知圆C：(x＋1)²＋y²＝8，定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CN上，且满足，，点N的轨迹为曲线E．

(Ⅰ)求曲线E的方程；

(Ⅱ)若点B₁(x₁，y₁)，B₂(－1，y₂)，B₃(x₃，y₃)在曲线E上，且成等差数列，求x₁＋x₃的值；

(Ⅲ)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足，求λ的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由题意知，圆C的圆心为(－1，0)，半径． 　　∵． 　　∴NP为线段AM的垂直平分线，∴． 　　又∵，∴． 　　∴动点N的轨迹是以点C(－1，0)，A(1，0)为焦点且长轴长为的椭圆． 　　∴． 　　∴曲线E的方程为． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲线E的轨迹为椭圆，A为右焦点，其右准线方程为l1：x＝2． 　　设B1到直线l1的距离为d． 　　根据椭圆的定义知， 　　得． 　　同理可得：，． 　　∵成等差数列， 　　∴，代入得． 　　(Ⅲ)当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y＝kx＋2， 　　代入椭圆，得． 　　由△＞0得． 　　设，则，① 　　．② 　　又∵， 　　即．∴．③ 　　由①②③联立得， 　　即，整理得． 　　∵，∴， 　　∴，解得且λ≠1． 　　又∵0＜λ＜1，∴． 　　当直线GH斜率不存在时，直线GH方程为x＝0，此时，即． 　　∴，即所求λ的取值范围是