Question

设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=

1-( . z )4

1+z4

，并且|ω|=

3

3

，argω＜

π

2

，求θ．

Answer 1

分析：化简ω，利用|ω|=

3

3

，求出θ的三角函数值，再用argω＜

π

2

，来验证ω，从而求出θ的值．

解答：解法一ω=

1-[cos(-θ)+isin(-θ)]4

1+[cosθ+isinθ]4

=

1-cos(-4θ)-isin(-4θ)

1+cos4θ+isin4θ

=

2sin22θ+2isin2θcos2θ

2cos22θ+2isin2θcos2θ

=tg2θ（sin4θ+icos4θ）．|ω|=|tg2θ|•|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=

3

3

，tg2θ=±

3

3

．
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当tg2θ=

3

3

时，得θ=

π

12

或θ=

7π

12

，这时都有ω=

3

3

(cos

π

6

+isin

π

6

)，
得argω=

π

6

＜

π

2

，适合题意．
（ⅱ）当tg2θ=-

3

3

时，得θ=

5π

12

或θ=

11π

12

，这时都有ω=

3

3

(cos

11π

6

+isin

11π

6

)，
得argω=

11π

6

＞

π

2

，不适合题意，舍去．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知θ=

π

12

或θ=

7π

12

．
解法二z⁴=cos4θ+isin4θ．
记φ=4θ，得(

.

z

)4=

.

(z4)

=cos?-isin?．ω=

1-cos?+isin?

1+cos?+isin?

．=

sin?

1+cos?

(sin?+icos?)=tg

?

2

(sin?+icos?)．∵|ω|=

3

3

，argω＜

π

2

，
①②③
∴

|tg ? 2 |= 3 3 tg ? 2 •sin?＞0 tg ? 2 •cos?≥0

当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ）

0＜θ＜π tg2θ= 3 3 cos4θ≥0

，或（ⅱ）

0＜θ＜π tg2θ=- 3 3 cos4θ≤0

，
解（ⅰ）得θ=

π

12

或θ=

7π

12

．（ⅱ）无解．
综合（ⅰ）、（ⅱ）θ=

π

12

或θ=

7π

12

．

点评：本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．