Question

（本小题满分14分）

已知函数f（x）=（x²+ax-2a-3）·e^3-x （a∈R）

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）=（a²+）e^x（a>0），若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

⑴，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数；

当时，，此时在上为减函数；

当时，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．

⑵ a的取值范围为．

【解析】

试题分析：⑴，令，

即所以

所以 …………………………………………………………………3分

，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数；

当时，，此时在上为减函数；

当时，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数． ………………………………………………………………………………6分

⑵ 当时，，则在上为增函数，在上为减函数

又

∴在上的值域为 ………………………………………8分

又在上为增函数，其值域为……10分

等价于……………………………………………12分

存在使得成立，只须

，又

∴a的取值范围为． ………………………………………………………………14分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性，恒成立问题。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”，本题最终化为最值之间故选的研究，体现考题“起点高，落点低”的特点。