Question

（08年临沂市质检一理） （12分）设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为；

   （1）求椭圆的离心率；

   （2）若左焦点F₁（－1，0）设过点F₁且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B，C两点，线段BC的垂直平分线与x轴交于G，求点G横坐标的取值范围.

 

Answer 1

解析：（1）解法1：由题设AF₂⊥F₁F₂，及F₁（－c,0），F₂（c,0），不妨设点A（c,y），其中y>0.

由于点A在椭圆上，有

即.……………………2分

直线AF₁的方程为

由题设，原点O到直线AF₁的距离为…………4分

将，进而求得……6分

解法2：设O到直线AF₁的垂足为E，则

Rt△OEF₁―Rt△AF₂F₁，

 （*）……………………2分

由已知条件可求得………………3分

又…………4分

代入（*）式得

将代入并化简，得进而求得…………6分

（2）∵左焦点F₁（－1，0）

∴椭圆的方程为……………………7分

设直线BC的方程为代入椭圆方程并整理得

记B

则

…………………………8分

∴BC的垂直平分线NG的方程为

……………………9分

令y=0得

……………………10分

……………………11分

即点G横坐标的取值范围为……………………12分