Question

已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4,直线l₁过定点A(1,0).

(1)若l₁与圆C相切,求l₁的方程.

(2)若l₁与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ的面积的最大值,并求此时直线l₁的方程.

Answer 1

 (1)①若直线l₁的斜率不存在,则直线l₁:x=1,符合题意.

②若直线l₁斜率存在,设直线l₁的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.

由题意知,圆心(3,4)到已知直线l₁的距离等于半径2,即:=2,解之得k=.

所求直线l₁的方程是x=1或3x-4y-3=0.

(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,设直线方程为kx-y-k=0,

则圆心到直线l₁的距离d=,

又因为△CPQ的面积S=d×2

=d==,

所以当d=时,S取得最大值2.

所以d==,所以k=1或k=7,

所求直线l₁方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.