Question

PA⊥矩形ABCD平面，M，N分别是AB、PC的中点．

　　①求证：MN⊥AB；

　　②若PA︰PD＝1︰，求证：MN⊥PC；

　　③在②成立的条件下，设PA＝a，求异面直线AB与PC的距离．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：①连接AC、PB、BN、AN．由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AC，Rt△ACD中，PN=CN，．因为BC⊥AB，AB是PB在平面ABCD的射影，所以BC⊥PB．Rt△PBC中，PN=CN，，故AN=BN，等腰△ABN中，M是AB中点，故MN⊥AB．如图． 　　②设PD中点为E，AB⊥AE，由CD//AB，知CD⊥AE，Rt△PAD中，因为PA︰PD=1︰，所以PA=AD，又E是PD中点，AE⊥PD，AE⊥平面PDC，故AE⊥PC，MN//AE，因此MN⊥PC． 　　③MN是异面直线AB、PC的公垂线段，MN=AE，PA=a，Rt△PAD中，PA︰AD=1︰，故．