Question

如图，如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）若PD与平面ABCD所成角为60°，且AD=2，AB=4，求点A到平面PED的距离．

Answer 1

分析：（I）取PC的中点O，连接OF，OE．由OF∥DC且OF=

1

2

DC，E是AB的中点，知AEOF是平行四边形，由此能够证明AF∥平面PEC．
（II）法一：设A平面PED的距离为d，由PA⊥平面ABCD，知∠PDA为PD与平面ABCD所成角，且∠PDA=60°，再由V_P-AED=V_A-PDE，能推导出点A到平面PED的距离．
法二：由PA⊥平面ABCD，知∠PDA为PD与平面ABCD所成角，且∠PDA=60°，得到PA=ADtan60o=2

3

，PD=

AD

cos60o

=4，由AB=4，E是AB的中点所以AE=2=AD，由平面PDE⊥平面PAH，能推导出点A到平面PED的距离．

解答：（I）证明：如图，取PC的中点O，连接OF，OE．
由已知得OF∥DC且OF=

1

2

DC，
又∵E是AB的中点，则OF∥AE且OF=AE，∴AEOF是平行四边形，
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（II）解法一：设A平面PED的距离为d，
因PA⊥平面ABCD，故∠PDA为PD与平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以PA=ADtan60o=2

3

，PD=

AD

cos60o

=4，
又因为AB=4，E是AB的中点所以AE=2，
PE=

PA2+AE2

=4，DE=

DA2+AE2

=2

2

．
作PH⊥DE于H，因PD=PE=4，DE=2

2

，
则DH=

2

，PH=

PD2-DH2

=

14

，
则S△ADE=

1

2

×AD•AE=2，S△PDE=

1

2

×PH•DE=2

7

因V_P-AED=V_A-PDE
所以d=

PA•S△ADE

S△PDE

=

2 3 ×2

2 7

=

2 21

7

，
（Ⅱ）解法二：因PA⊥平面ABCD，故∠PDA为PD与平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以PA=ADtan60o=2

3

，PD=

AD

cos60o

=4，
又因AB=4，E是AB的中点所以AE=2=AD，
PE=

PA2+AE2

=4，DE=

DA2+AE2

=2

2

．
作PH⊥DE于H，连接AH，因PD=PE=4，则H为DE的中点，故AH⊥DE
所以DE⊥平面PAH，所以平面PDE⊥平面PAH，作AG⊥PH于G，
则AG⊥平面PDE，所以线段AG的长为A平面PED的距离．
又DH=

2

，PH=

PD2-DH2

=

14

，AH=

AD2-DH2

=

2

所以AG=

PA•AH

PH

=

2 3 • 2

14

=

2 21

7

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和等积法的合理运用．