Question

【题目】已知函数g（x）= +g（x）．
（1）试判断g（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，1）上有极值，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0 ， 试求[x0]的值．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2，[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

② 当a≥0时，g'（x）＜0，∴函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递减；

②当a＜0时，由g'（x）=0，解得 ，

当 时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；

当 时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增

（2）解：f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．

，

令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），h'（x）=6x2﹣a，

当a＜0时，h'（x）＞0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，

又h（0）=﹣2＜0，h（1）=﹣a＞0，

∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f'（x）的变号零点，

此时f（x）在区间（0，1）内有极值．

当a≥0时，h（x）=2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）时，f'（x）＜0恒成立，

∴函数f（x）在（0，1）单调递减，此时函数f（x）无极值

综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值时实数a的取值范围是（﹣∞，0）

（3）解：∵a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞）

由（2）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x0＞1．

又f（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，

且x∈（1，x1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，

x∈（x1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，

由题意可知：x1即为x0．

∴ ，∴ 消去可得： ，

即

令 ，则t（x）在区间（1，+∞）上单调递增

又∵

由零点存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0

∴2＜x0＜3∴[x0]=2

【解析】（1）求出g（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）求出f（x）的导数，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），求出导数，讨论a的符号，判断单调性，即可得到所求a的范围；（3）由（2）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，则x0＞1，讨论f（x）在x＞1的单调性，再由零点的定义和极值点的定义，可得x0的方程，构造函数 ，判断单调性，由零点存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0，即可得到所求值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．