Question

（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直线A₁F∥平面ADE．

Answer 1

分析：（1）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得到CC₁⊥平面ABC，从而AD⊥CC₁，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁内的相交直线，得到AD⊥平面BCC₁B₁，从而平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）先证出等腰三角形△A₁B₁C₁中，A₁F⊥B₁C₁，再用类似（1）的方法，证出A₁F⊥平面BCC₁B₁，结合AD⊥平面BCC₁B₁，得到A₁F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A₁F∥平面ADE．

解答：解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁
又∵AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁内的相交直线
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）∵△A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点
∴A₁F⊥B₁C₁，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁F?平面A₁B₁C₁，
∴A₁F⊥CC₁
又∵B₁C₁、CC₁是平面BCC₁B₁内的相交直线
∴A₁F⊥平面BCC₁B₁
又∵AD⊥平面BCC₁B₁，
∴A₁F∥AD
∵A₁F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴直线A₁F∥平面ADE．

点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．