Question

（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求炮的最大射程即求  y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．

解答：解：（1）在 y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-

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（1+k²）x²=0．                  
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x=

20k

1+k2

=

20

1 k +k

≤

20

2

=10，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-

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（1+k²）a²=3.2成立，
即关于 的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．
由△=400a²-4a²（a²+64）≥0得a≤6．
此时，k=

20a± △

2a2

＞0．
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．

点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．