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如图:五面体A-BCC1B1中,AB1=4,△ABC 是正三角形,AB=2,四边形  BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1为直二面角,D为AC的中点.
(1)求证:AB1∥平面BDC1
(2)求二面角C-BC1-D的大小;
(3)若A、B、C、C1为某一个球面上的四点,求该球的半径r.
分析:(1)连接B1C交BC1于O,连接DO,由三角形的中位线性质可得  DO∥AB1,从而证明AB1∥平面BDC1
(2)过点D作DN⊥BC于点N,过点N作HH⊥BC1,连接DH,则易知∠DHN为二面角C-BC1-D的平面角,分别求出DN,NH的长,即可得二面角C-BC1-D的大小;
(3)取AC1的中点M,连接DM,则DM∥CC1.以DA、DB、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则可求球的半径.
解答:(1)证明:连接B1C交BC1于点O,则O为B1C中点,连接OD,
则在△B1AC中,AB1∥OD.
∵OD?平面BDC1,AB1?平面BDC1
∴AB1∥平面BDC1.…(3分)
(2)过点D作DN⊥BC于点N,则
∵二面角A-BC-C1为直二面角
∴DN⊥平面CBC1
过点N作HH⊥BC1,连接DH,则由三垂线定理知DH⊥BC1
∴∠DHN为二面角C-BC1-D的平面角.…(4分)
∵DN=DC•sin60°=
3
2

CN=
1
2
BN=
3
2
.…(5分)
∵△ABB1为直角三角形,
CC1=BB1=2
3

∴BC1=4.…(6分)
∵Rt△BNH~Rt△BC1C
BN
BC1
=
NH
CC1

∴HN=
3
3
4
.…(7分)
tan∠DHN=
DN
NH
=
3
2
3
3
4
=
2
3

∴二面角C-BC1-D的大小为arctan
2
3
.…(8分)
(3)取AC1的中点M,连接DM,则DM∥CC1
以DA、DB、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz(如图所示).…(9分)   
则A(1,0,0),C1(-1,0,2
3
),
设球心为点O,O到平面ABC的距离为h,则O(0,
3
3
,h).…(10分)
∵OC1=OA=r,
1+
1
3
+(2
3-h
)2
=
1+
1
3
+h2

∴h=
3

r=
1+
1
3
+h2
=
39
3
.…(12分)
点评:本题以多面体为载体,考查线面平行,考查面面角,考查利用空间向量解决立体几何问题,解题的关键是利用线线平行证明线面平行,正确作出二面角的平面角.
练习册系列答案
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精英家教网如图,五面体A-BCC1B1中,AB1=4.底面ABC 是正三角形,AB=2.四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1为直二面角.
(Ⅰ)D在AC上运动,当D在何处时,有AB1∥平面BDC1,并且说明理由;
(Ⅱ)当AB1∥平面BDC1时,求二面角C-BC1-D余弦值.

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(Ⅰ)若D是AC中点,求证:AB1∥平面BDC1
(Ⅱ)求该五面体的体积.

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如图,五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1为直二面角,D为AC的中点.
(1)证明:AB1∥平面BDC1
(2)求二面角C-BC1-D的余弦值.

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(本题满分12分)如图,五面体ABCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角ABCC1为直二面角,DAC中点.

(1)求证:AB1∥面BDC1;(2)求二面角CBC1D的大小;

(3)若ABCC1为某一个球面上四点,求球的半径.

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