Question

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（A）（几何证明选做题）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2，∠BCD=30°，则圆O的面积为

4π

；
（B）（极坐标系与参数方程选做题）极坐标方程ρ=2sinθ+4cosθ表示的曲线截θ=

π

4

(ρ∈R)所得的弦长为

3

2

；
（C）（不等式选做题）  不等式|2x-1|＜|x|+1解集是

（0，2）

．

Answer 1

分析：（A）通过弦切角转化为，圆周角，然后求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．
（B）把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再由弦长公式求出弦长．
（C）由不等式可得①

x＜0 1-x＜1

，或②

0 ≤x＜ 1 2 1-3x＜1

，或 ③

x≥  1 2 x-1＜1

．分别求出①②③的解集，再取并集即可求得不等式的解集．

解答：解：（A）因为弦切角等于同弧上的圆周角，所以，∠BCD=30°，
∠A=30°，则∠BOC=60°，
根据60°的圆心角所对弦等于半径，BC=2，
所以圆的半径为2，所以圆的面积为：4π
故答案为：4π．
（B）极坐标方程ρ=2sinθ+4cosθ 化为直角坐标方程为
（x-2）²+（y-1）²=5，
表示的曲线是以（2，1）为圆心，以

5

为半径的圆．
θ=

π

4

(ρ∈R) 化为直角坐标方程为 y=x，表示一条直线．
圆心到直线的距离等于d=

|2-1|

2

=

2

2

．
∴方程ρ=2sinθ+4cosθ表示的曲线截θ=

π

4

(ρ∈R)所得的弦长为 2

r2-d2

=2

5- 1 2

=3

2

，
故答案为 3

2

．
（C）由不等式|2x-1|＜|x|+1即|2x-1|-|x|＜1，可得①

x＜0 1-x＜1

，或②

0 ≤x＜ 1 2 1-3x＜1

，或 ③

x≥  1 2 x-1＜1

．
解①得x∈∅，解②得 0＜x＜

1

2

，解③得

1

2

≤x＜2．
综上可得，不等式的解集为 （0，2），
故答案为 （0，2）．

点评：本题主要考查弦切角的应用，圆周角与圆心角的关系，确定面积的求法；把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，绝对值不等式的求法，考查计算能力，
属于中档题．