Question

已知p：直线x-2y+3=0与抛物线y²=ax（a＞0）没有交点；q：方程

x2

4-a

+

y2

a-1

=1表示椭圆；若p∧q为真命题，则实数a的取值范围

（1，

5

2

）∪（

5

2

，3）

．

Answer 1

分析：由p∧q为真命题，知命题p和命题q都是真命题，由此利用韦达定理和椭圆性质能求出实数a的取值范围．

解答：解：∵p∧q为真命题，
∴p：直线x-2y+3=0与抛物线y²=ax（a＞0）没有交点是真命题，
q：方程

x2

4-a

+

y2

a-1

=1表示椭圆是真命题．
当命题p是真命题时，
联立

x-2y+3=0 y2=ax

，得y²-2ay+3a=0，
△=4a²-12a＜0，解得0＜a＜3．
当命题q为真命题时，

4-a＞0 a-1＞0 4-a≠a-1

，解得1＜a＜

5

2

，或

5

2

＜a＜4．
∴当p∧q为真命题时，实数a的取值范围是（1，

5

2

）∪（

5

2

，3）．
故答案为：（1，

5

2

）∪（

5

2

，3）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意复合命题真假判断的灵活运用．