Question

（2012•杭州二模）已知动点P在直线 x+2y-1=0上，动点Q在直线 x+2y+3=0上，线段PQ中点 M（x₀，y₀）满足不等式

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，则

x 2 0 + y 2 0

的取值范围是

[

5

5

，

34

]

．

Answer 1

分析：首先由直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0是平行线，得出PQ的中点M（x₀，y₀）满足的直线方程；再根据

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

对应的平面区域进一步限定M的范围；最后结合

x 2 0 + y 2 0

的几何意义求出其范围．

解答：解：根据题意作图如下：
因为PQ中点为M，则点M的坐标满足方程x+2y+1=0，
又

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，则点M在线段AB上，
且由方程组

x+2y+1=0 y= x 3 +2

和

x+2y+1=0 y=-x+2

可得 A（-3，1），B（5，-3）
而

x 2 0 + y 2 0

可视为点M与原点O的距离，
其距离最小为原点到直线x+2y+1=0的距离，最大为OB．
由点到直线的距离公式可得d=

1

12+22

=

5

5

，
由两点间的距离公式可得d′=

52+(-3)2

=

34

故

x 2 0 + y 2 0

的取值范围是[

5

5

，

34

]
故答案为：[

5

5

，

34

]

点评：本题考查两点间的距离公式，涉及距离公式几何意义的应用，属中档题．