Question

借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内的零点：

（1）精确度为0.1；（2）精确到0.1.

Answer 1

解析：可证得函数在区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0,

    由于f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x₀，即x₀∈(2,3).

    下面用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内零点的近似值：

    取区间（2，3）的中点x₁=2.5，用计算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·f(2.5)＜0,所以x₀∈(2,2.5);

    再取区间（2，2.5）的中点x₂=2.25，用计算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x₀∈(2.25,2.5).

    同理可得x₀∈(2.25,2.375)，

    x₀∈(2.312 5,2.375).(*)

    （1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 5＜0.1，所以区间［2.312 5,2.375］上任意一个实数x₀′均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x₀′=2.35,2.342,2.375等）；

    （2）接（*），同理可得，x₀∈(2.343 75,2.375),x₀∈(2.343 75,2.359 375),

    x₀∈(2.343 75,2.351 562 5),x₀∈(2.343 75,2.347 656 25).

    由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零点的近似值为2.3.