Question

19．已知函数$\overrightarrow a$=（2sinx，cosx+sinx），$\overrightarrow b$=（cosx，cosx-sinx），f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）在区间（0，$\frac{π}{2}$）内有两个不相等的实数根x₁，x₂，记t=mcos（x₁+x₂），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积运算、二倍角公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先将方程根的问题转化为两个函数图象交点问题，由x的范围和（1）求出f（x）单调区间，端点处的函数值、最大值，结合条件求出m的范围，由正弦函数图象的对称性求出x₁+x₂，即可实数t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=2sinxcosx+cos²x-sin²x
=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得，
$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}（k∈Z）$
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z）$ 得，
$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}（k∈Z）$，
∴函数f（x）的单调递增区间是$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]（k∈Z）$，
单调递减区间是$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]（k∈Z）$，
（Ⅱ）方程f（x）-m=0（m∈R）在（0，$\frac{π}{2}$）内有两个不相等的实数根x₁，x₂，
转化为直线y=m与曲线f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$在（0，$\frac{π}{2}$）内有两个不同的交点，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，$\frac{π}{8}$）上递增，在[$\frac{π}{8}$，）$\frac{π}{2}$上递减，
∴当x=$\frac{π}{8}$时，f（x）取到最大值f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}sin（2×\frac{π}{8}+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，
又f（0）=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，f（$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}sin（2×\frac{π}{2}+\frac{π}{4}）$=-1，
∴m∈（1，$\sqrt{2}$），
∵函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，
∴x₁+x₂=2×$\frac{π}{8}$=$\frac{π}{4}$，则cos（x₁+x₂）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又t=mcos（x₁+x₂），则实数t的取值范围是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，以及方程的根与函数图象交点之间的关系，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．