Question

4．f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$$+\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$（x∈R）；
（1）求该函数最大值以及取得最大值时的x的取值；
（2）直线l倾斜角为θ，且f（θ）=2，l与坐标轴围成的三角形的面积为$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出f（x）de 最大值以及取得最大值时的x的取值；
（2）由（1）化简f（θ）=2，由θ的范围和特殊角的三角函数值求出θ，由斜率公式求出直线l的斜率，由斜截式方程设出直线l的方程，令y=0和x=0求出与坐标轴的交点坐标，结合条件列出方程求解后即可求出直线l的方程．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$
=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=$2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
当$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$时，$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）=1$，
f（x）取到最大值为2，此时$x=4kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$；
（2）由（1）得，f（θ）=$2sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）$=2，则$sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）=1$，
∴$\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，化简得$θ=4kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
∵0≤θ＜π，∴θ=$\frac{π}{3}$，则直线l的斜率k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
设直线l的方程为y=$\sqrt{3}$x+b，
令y=0得x=$\frac{\sqrt{3}b}{3}$，令x=0得y=b，
∵直线l与坐标轴围成的三角形的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×|b|×|\frac{\sqrt{3}b}{3}|=\sqrt{3}$，解得b=$±\sqrt{6}$，
∴直线l的方程为：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{6}$或y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{6}$．

点评 本题考查正弦函数的性质，二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，以及直线的斜率与方程，属于中档题．