Question

12．若x，y∈R，且3x²+2y²=6，则x+y的最大值是$\sqrt{5}$，x²+y²的最小值是2．

Answer 1

分析 先将条件化为：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$，再运用三角换元和辅助角公式求x+y，x²+y²的最值．

解答 解：方程3x²+2y²=6可写成：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$，
故设x=$\sqrt{2}$cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，
所以，x+y=$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{3}$sinθ
=$\sqrt{5}$sin（θ+φ）∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]，
因此，x+y的最大值为：$\sqrt{5}$，
又x²+y²=2cos²θ+3sin²θ=2+sin²θ∈[2，3]，
所以，x²+y²的最小值为2，
故答案为：$\sqrt{5}$；2．

点评 本题主要考查了三角换元在求最值中的应用，涉及同角三角函数的基本关系式和辅助角公式，属于中档题．