Question

已知ab≠0,求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

思路分析：本题的大前提是ab≠0，条件是a³+b³+ab-a²-b²=0，结论是a+b=1.

欲证充要条件，即要证明条件是充分的而且是必要的.

证明：先证必要性成立：

∵a+b=1，即b=1-a，

∴a³+b³+ab-a²-b²

=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²

=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.

∴必要性成立.

再证充分性成立：

∵a³+b³+ab-a²-b²=0，

即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0，

∴(a+b-1)(a²-ab+b²)=0.

又ab≠0,∴a≠0,b≠0,

从而a²-ab+b²≠0.

∴a+b-1=0，即a+b=1.

故充分性成立.

综上所述，原命题成立.