【题目】已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.
【答案】
(1)解:由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n.
由 得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0.
因为A,C在椭圆上,
所以△=﹣12n2+64>0,解得 .
设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则 ,
,y1=﹣x1+n,y2=﹣x2+n.
所以 .
所以AC的中点坐标为 .
由四边形ABCD为菱形可知,点 在直线y=x+1上,
所以 ,解得n=﹣2.
所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2,即x+y+2=0.
(2)解:因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,
所以|AB|=|BC|=|CA|.
所以菱形ABCD的面积 .
由(1)可得 ,
所以 .
所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值
【解析】(1)由题意得直线BD的方程,根据四边形ABCD为菱形,判断出AC⊥BD.于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立,根据判别式大于0求得n的范围,设A,C两点坐标分别为(x1 , y1),(x2 , y2),根据韦达定理求得x1+x2和x1x2 , 代入直线方程可表示出y1+y2 , 进而可得AC中点的坐标,把中点代入直线y=x+1求得n,进而可得直线AC的方程.(2)根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|.进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值.
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【题目】已知点在椭圆
:
(
)上,设
,
,
分别为左顶点、上顶点、下顶点,且下顶点
到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点,
(
)为椭圆
上两点,且满足
,求证:
的面积为定值,并求出该定值.
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【题目】设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn , 等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1 , b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)当d>1时,记cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设 =
,
=
,
=
.
(1)试用 ,
,
表示出向量
;
(2)求BM的长.
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【题目】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠A是锐角,且 b=2asinB.
(1)求∠A的度数;
(2)若a=7,△ABC的面积为10 ,求b2+c2的值.
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【题目】已知向量 ,
满足:|
|=2,|
|=4
(1)若( )
=﹣20,求向量
与
的夹角及|3
+
|
(2)在矩形ABCD中,CD的中点为E,BC的中点为F,设 =
,
=
,试用向量
,
表示
,
,并求
的值.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1 , 且AA1=AB=2.
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为 ,求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小.
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【题目】已知△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所在的对边,且a=4,b+c=5,tanB+tanC+ =
tanBtanC,则△ABC的面积为( )
A.
B.3
C.
D.
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