Question

（2004•朝阳区一模）已知a=

lim

n→+∞

(

1

n2

+

2

n2

+…+

n

n2

)，b=

lim

n→+∞

(1+

1

3

+

1

9

+…+

1

3n-1

+…)，则a、b的值分别为

1

2

，

3

2

，c=

lim

n→+∞

an+bn

an+1+bn+1

=

2

3

．

Answer 1

分析：先利用等差、等比数列的前n项和公式对a，b进行化简，然后再求极限可得a，b，把a，b值代入c化简后可求得极限．

解答：解：∵

1

n2

+

2

n2

+…+

n

n2

=

n(n+1) 2

n2

=

n+1

2n

，∴a=

lim

n→∞

n+1

2n

=

lim

n→∞

1+ 1 n

2

=

1

2

；
∵1+

1

3

+

1

9

+…+

1

3n-1

=

1- 1 3n

1- 1 3

，∴b=

lim

n→∞

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

；
则

an+bn

an+1+bn+1

=

1 2n +( 3 2 )n

1 2n+1 +( 3 2 )n+1

=

1 3n +1

1 2 × 1 3n + 3 2

，
所以c=

lim

n→∞

1 3n +1

1 2 × 1 3n + 3 2

=

2

3

，
故答案为：

1

2

，

3

2

；

2

3

．

点评：本题考查等差、等比数列的前n项和公式、数列极限及其运算，考查学生的运算能力．