Question

已知函数F（x）=|2x-t|-x³+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）．
（Ⅰ）写出此函数F（x）在R上的单调区间；
（Ⅱ）若方程F（x）-k=0恰有两解，求实数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数F（x）=|2x-t|-x³+x+1，去绝对值符号，转化为分段函数求单调区间，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论的结果，可知函数图象的变化情况，可知方程F（x）-k=0恰有两解，求得实数k的值．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=|2x-t|-x³+x+1=

-x3+3x+1-t x≥ t 2 -x3-x+1+t x＜ t 2

∴F'（x）=

-3x2+3 x≥ t 2 -3x2-1 x＜ t 2

由-3x²+3=0得x₁=-1，x₂=1，而-3x²-1＜0恒成立，
∴i）当

t

2

＜-1时，F（x）在区间（-∞，-1）上是减函数，
在区间（-1，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数．
ii）当1＞

t

2

≥-1时，F（x）在区间（-∞，

t

2

）上是减函数，
在区间（

t

2

，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数．
iii）当

t

2

≥1时，F（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
（II）由1）可知
i）当

t

2

＜-1时，F（x）在x=-1处取得极小值-1-t，
在x=1处取得极大值3-t，若方程F（x）-m=0恰有两解，
此时m=-1-t或m=3-t．
ii）当-1≤

t

2

＜1，F（x）在x=

t

2

处取值为-

t3

8

+

t

2

+1，
在x=1处取得极大值3-t，若方程F（x）-m=0恰有两解，
此时m=-

t3

8

+

t

2

+1或m=3-t．
iii）当

t

2

≥1时，不存在这样的实数m，使得F（x）-m=0恰有两解．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属难题．