Question

三棱锥P-ABC中，PA=AB=AC，∠BAC=120°，PA⊥平面ABC，点E、F分别为线段PC、BC的中点，
（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由；
（2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中点E、F分别为线段PC、BC的中点，由三角形中位线定理，可得EF∥PB，进而由线面平行的判定定理，即可得到PB∥平面AEF．
（2）F作FH⊥AC于点H，由已知中PA⊥平面ABC，可得面PAC⊥平面ABC，连接PH，可得∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角．解三角形即可得到直线PF与平面PAC所成角的正弦值

解答：解：（1）PB∥平面AEF，（2分）
∵点E、F分别为线段PC、BC的中点，
∴EF为△PBC的中位线，
∴EF∥PB，（4分）
又PB?平面AEF，EF?平面AEF，
∴PB∥平面AEF．（6分）
（2）过F作FH⊥AC于点H，由于PA⊥平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC，
从而FH⊥平面PAC，连接PH，可得∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角．（10分）
不妨设PA=AB=AC=1，则在△ABC中，
计算可得AF=

1

2

，FH=

3

4

，
又Rt△PAF中，PF=

PA2+AF2

=

5

2

，
∴在Rt△PFH中，sin∠FPH=

FH

PF

=

3 4

5 2

=

15

10

，
即直线PF与平面PAC所成角的正弦值为

15

10

．（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，（1）中关键是判断出EF∥PB，（2）中关键是得到∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角．