Question

一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．
（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（2）求恰好得到n（n∈N^*）分的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意分析的所抛5次得分ξ为独立重复试验，利用二项分布可以得此变量的分布列；
（2）由题意分析出令p_n表示恰好得到n分的概率．不出现n分的唯一情况是得到n-（1分）以后再掷出一次反面．“不出现n分”的概率是1-p_n，“恰好得到n-（1分）”的概率是p_n-1，利用题意分析出递推关系即可．

解答：解：（1）所抛5次得分ξ的概率为P（ξ=i）=

C

i-5 5

(

1

2

)5（i=5，6，7，8，9，10），
其分布列如下：

ξ	5	6	7	8	9	10
P	1 32	5 32	5 16	5 16	5 32	1 32

Eξ=

10

i=5

i•

C

i-5 5

(

1

2

)5=

15

2

（分）．
（2）令p_n表示恰好得到n分的概率．不出现n分的唯一情况是得到n-（1分）以后再掷出一次反面．
   因为“不出现n分”的概率是1-p_n，“恰好得到n-（1分）”的概率是p_n-1，
因为“掷一次出现反面”的概率是

1

2

，所以有1-p_n=

1

2

p_n-1，
即p_n-

2

3

=-

1

2

(pn-1-

2

3

)．
于是{pn-

2

3

}是以p₁-

2

3

=

1

2

-

2

3

=-

1

6

为首项，以-

1

2

为公比的等比数列．
所以p_n-

2

3

=-

1

6

(-

1

2

)n-1，即p_n=

1

3

[2+(-

1

2

)n]．
答：恰好得到n分的概率是

1

3

[2+(-

1

2

)n]．

点评：此题考查了独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．