Question

阅读下列命题
①函数f(x)=4cos(2x+

π

3

)的一个对称中心是(

-5π

12

，0)
②已知f(x)=

sinx，(sinx＜cosx) cosx，(cosx≤sinx)

，那么函数f（x）的值域是[-1，

2

2

]
③α，β均为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
④f（x）=sinx，g（x）=cosx，直线x=a（a∈R）与y=f（x），y=g（x）的交点分别为M、N，那么|MN|的最大值为2．以上命题正确的有（　　）

A．.①②

B．.③④

C．.①③

D．②④

Answer 1

分析：①通过余弦函数的对称中心求出 f(x)=4cos(2x+

π

3

)的对称中心，然后判断 (-

5π

12

，0)是否为其中之一．
②f（x）=minsinx，cosx知f（x）为正弦余弦的最小值，通过函数图象判断．
③根据正弦函数在第一象限的单调性直接判断；
④令F（x）=|sinx-cosx|求其最大值

解答：解：①函数 f(x)=4cos(2x+

π

3

)的一个对称中心 (-

5π

12

，0)；
∵y=cosx的对称中心为：（kπ+

π

2

，0）（k∈z）
∴2x+

π

3

=kπ+

π

2

得：x=

kπ

2

+

π

12

 （k∈z）
当k=-1时，x=-

5π

12

∴函数 f(x)=4cos(2x+

π

3

)的一个对称中心 (-

5π

12

，0)正确．
②已知函数f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的值域为 [-1，

2

2

]；
根据正弦函数余弦函数图象易知，两者最小值为-1，最小值中最大为

2

2

故正确
③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＜sinβ．显然不正确如α=390度，β=30度，显然α＞β，但是sinα=sinβ
对于④，令F（x）=|sinx-cosx|=

2

|sin（x-

π

4

）|当x-

π

4

=

π

2

+kπ，x=

3π

4

+kπ，即当a=

3π

4

+kπ时，函数F（x）取到最大值

2

，故④错，
故选A．

点评：本题考查余弦函数的对称性，以及余弦函数的图象．通过对四个选项的分析分别判断，本题为中档题．