Question

（2012•江西模拟）已知等差数列{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，且a₅≥10，S₁₅＜255．
（1）求通项a_n；
（2）若数列a₁，a₃，ab1，ab2，ab3，…abn，…，成等比数列，试找出所有的n∈N^*，使cn=

bn-1

4

为正整数，说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由条件可得2d＜5，再由{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，故有d=2，结合条件得a₁=2，由此求得通项a_n ．
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，由此求出公比的值，求得 bn=3n+1，故cn=

bn-1

4

=

3n+1-1

4

，当n=
2k-1，k∈N^*时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时cn∈N*．当n=2k，k∈N^*时，经检验不符合条件．

解答：解：（1）因为 a₅≥10，S₁₅＜255，设{a_n}的公差为d，则有

a1+4d≥10 15(a1+a15) 2 ＜225

．  …（2分）
化简可得

-a1-4d ≤-10 a1+6d＜15

，∴2d＜5．
再由{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，∴d=2，…（3分）
∴a₁=2…（4分）
故an=2+(n-1)×2，即an=2n，n∈N*．…（5分）
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，
∴公比q=

a3

a1

=3，…（6分）
∴abn=2•3(n+2)-1=2•3n+1，又abn=a1+(bn-1)×2=2bn，…（8分）
∴2•3ⁿ⁺¹=2b_n，bn=3n+1，故cn=

bn-1

4

=

3n+1-1

4

．…（9分）
此时当n=1，3，5时符合要求；当n=2，4时不符合要求．
由此可猜想：当且仅当n=2k-1，k∈N^*时，C_n为正整数．证明如下：…（10分）
逆用等比数列的前n项和公式有：cn=

1

2

×

1-3n+1

1-3

=

1

2

(1+3+32+…+3n)．…（11分）
当n=2k，k∈N^*时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时cn∉N*…（12分）
当n=2k-1，k∈N^*时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时cn∈N*
故满足要求的所有n为n=2k-1，k∈N^*．…（13分）

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于中档题．