Question

解下列一元二次不等式：

(1)2x²－3x－2＞0；

(2)6x－2－3x²＞0；

(3)4x(1－x)≥1；

(4)x²－2x＋2＞0．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为△＞0，方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2，画出二次函数y＝2x2－3x－2的图象，如图所示，可知不等式2x2－3x－2＞0的解集是{x|x＜－或x＞2}． 　　(2)原不等式可化为3x2－6x＋2＜0，因为△＞0，对应方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋，画出相应二次函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图所示，可知原不等式的解集是{x|1－＜x＜1＋}． 　　(3)原不等式可化为4x2－4x＋1≥0，因为△＝0，方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝x0＝，画出相应二次函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图所示， 　　可知原不等式的解集是{x|x∈R}． 　　(4)因为△＜0，方程x2－2x＋2＝0无解，画出相应二次函数y＝x2－2x＋2的图象，如图所示，可知原不等式的解集为R． 　　思路分析：本题主要考查具体的一元二次不等式的解法．利用图象法解一元二次不等式，可按以下步骤：(1)化为标准形式；(2)确定判别式△的符号；(3)若△≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若△＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可利用代数法，即转化为一次不等式，再写出解集． 　　方法归纳：解不等式的核心问题是将不等式进行同解变形，不等式的性质是不等式同解变形的理论依据．解不等式时要善于利用数形结合的思想以及转化与化归的数学思想．本例中的(1)、(2)、(3)小题除了可以用上面的图象法求解之外，还可以用代数法求解．如(1)： 　　原不等式可化为(2x＋1)(x－2)＞0，则有 　　即 　　所以x＞2或x＜－．