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(本小题满分14分)某光学仪器厂有一条价值为万元的激光器生产线,计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值. 经过市场调查,产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足:①成正比;②当时,,并且技术改造投入满足,其中为常数且.
(I)求表达式及定义域;
(II)求技术改造之后,产品增加值的最大值及相应的值.
解:(I)设.
时,可得.
所以.          ………………………………………………………3分
解得.
所以函数的定义域为.      ………………………………6分
(II)由(I)知,所以.
.      ………………………………………………………………8分
因为,所以,即.
时,,函数是增函数;
时,,函数是减函数.   ……………………………11分
所以当时,函数取得最大值,且最大值是.  …………………..13分
所以,时,投入万元最大增加值万元.    ………………………14分
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