Question

已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=

21

，

1

tanA

+

1

tanC

=

5

4

．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间基本关系化简，利用等比数列的性质及正弦定理化简后，求出sinB的值，即可确定出cosB的值；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）由

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

5

4

①，
又∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
由正弦定理化简得：sin²B=sinAsinC，
∵在△ABC中有sin（A+C）=sinB，
∴代入①式得：

sinB

sin2B

=

5

4

，即sinB=

4

5

，
由b²=ac知，b不是最大边，
∴cosB=

1-sin2B

=

3

5

；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得，ac=a²+c²-2ac•

3

5

=（a+c）²-

16

5

ac，
∵a+c=

21

，∴ac=5，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．