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    （2009•闸北区一模）设f(x)=2cos2x+
    		3
    sin2x    ，g(x)=
    1
    2
    f(x+
    5π
    12
    )+ax+b    ，其中a，b为非零实常数．
    （1）若f(x)=1-
    		3
    ，x∈[-
    π
    3
    ，
    π
    3
    ]    ，求x；
    （2）若x∈R，试讨论函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
    （3）已知：对于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），当且仅当x1=x2时，等号成立．若a≥2，求证：函数g（x）在R上是递增函数．
    分析：（1）由已知中f(x)=2cos2x+
    		3
    sin2x    =1+2sin(2x+
    π
    6
    )    ，根据f(x)=1-
    		3
    ，x∈[-
    π
    3
    ，
    π
    3
    ]    ，我们要以构造一个三角方程，结合正弦函数的图象和性质得到答案．
    （2）由已知中g(x)=ax-sin2x+b+
    1
    2
    ，根据函数奇偶性的定义及性质，以及正弦型函数的性质，对b的值进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到结论．
    （3）由已知中对于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），已知中不应该含绝对值吧，结合已知中g(x)=
    1
    2
    f(x+
    5π
    12
    )+ax+b    ，利用作差法，易判断出g（x1）-g（x2）＜0，进而根据函数单调性的定义，得到结论．
    解答：解：（1）由已知f(x)=2cos2x+
    		3
    sin2x    =1+2sin(2x+
    π
    6
    )    ，（2分）
    由1+2sin(2x+
    π
    6
    )=1-
    		3
    得：sin(2x+
    π
    6
    )=-
    		3
    2
    ，（1分）
    ∵-
    π
    3
    ≤x≤
    π
    3
    ，-
    π
    2
    ≤2x+
    π
    6
    ≤
    5π
    6
    （1分）
    ∴2x+
    π
    6
    =-
    π
    3
    ，x=-
    π
    4
    ．          （1分）
    （2）由已知，得g(x)=ax-sin2x+b+
    1
    2
    ，（1分）
    ①∵当b=-
    1
    2
    时，对于任意的x∈R，总有g（-x）=-ax-sin（-2x）=-（ax-sin2x）=-g（x），
    ∴g（x）是奇函数．（2分）（没有过程扣1分）
    ②当b≠-
    1
    2
    时，∵g(
    π
    2
    )≠±g(-
    π
    2
    )    或g（π）≠±g（-π）等
    所以，g（x）既不是奇函数，又不是偶函数． （2分）（没有过程扣1分）
    （3）对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，由已知，有sin2x2-sin2x1＜2（x2-x1），（2分）
    ∴g（x1）-g（x2）=a（x1-x2）+（sin2x2-sin2x1）＜（a-2）（x1-x2），
    ∵a≥2，∴g（x1）-g（x2）＜0．    （3分）
    故，函数g（x）是递增函数．         （1分）
    注：由于用求导的方法证明不用已知条件，不给分．
    点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换应用，辅助角公式，正弦型函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的单调性，是函数问题比较综合的考查，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．
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    1
    2
    f(x+
    5π
    12
    )+x+a    ，其中a为非零实常数．
    （1）若f(x)=1-
    		3
    ，x∈[-
    π
    3
    ，
    π
    3
    ]    ，求x；
    （2）试讨论函数g（x）在R上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．

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