Question

如图，已知圆C₁与y轴相切于原点O，且过双曲线x²-3y²=3的右焦点F₂；过抛物线C₂：y²=4x的焦点P作直线l与曲线C₁，C₂按自上而下的顺序交于A， B，C，D。

（1）求圆C₁的方程；
（2）问是否存在直线l使成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由得
∴
∴c=2
∴双曲线的右焦点为F₂（2，0）
∵圆C₁与y轴相切于原点O，
∴可设C₁：（x-m）²+y²=m²（m>0），
∵圆C₁过点F₂（2，0），
∴（2-m）²=m²且m>0，
∴m=1
∴圆C₁：（x-1）²+y²=1；
（2）抛物线y²=4x的焦点为P（1，0），
∵P（1，0）为圆C₁的圆心，
∴BC为圆C₁的直径，
∴|BC|=2
若存在直线l使成等差数列，
则|AB|+|CD|=2|BC|=4
∴|AD|=|AB|+ |BC|+|CD|=6
当直线l的斜率不存在时x=1，代入y²=4x得A（1，2），D（1，-2），
∴|AD|=4，不合题意
当直线l的斜率存在时，
∵l过点P（1，0），
∴可设l：y=k（x-1），由y²=4x得：
代入l的方程得：
即ky²-4y-4k=0
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），当k≠0时，
 
∴
又∵|AD|=6
∴
解得
l：
故存在符合条件的直线l，其方程为或y-=0。