Question

（2013•宁波模拟）如图，已知圆C1：x2+(y-1)2=4和抛物线C2：y=x2-1，过坐标原点O的直线与C₂相交于点A、B，定点M坐标为（0，-1），直线MA，MB分别与C₁相交于点D、E．
（1）求证：MA⊥MB．
（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S₁、S₂，若

S1

S2

=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出AB所在的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的二次方程，利用根与系数关系写出x₁+x₂，x₁x₂，写出向量

MA

与

MB

的数量积，结合x₁+x₂，x₁x₂整理后即可得到结论；
（2）利用直线方程斜截式写出MA和MB所在直线方程，分别和抛物线方程及圆的方程联立后求出A，B，D，E点的坐标，写出△MAB，△MDE的面积，面积作比后转化为一条直线的斜率的表达式，然后利用基本不等式求λ的取值范围．

解答：解（1）设直线AB：y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y=kx y=x2-1

，得x²-kx-1=0．
则x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
又

MA

=(x1，y1+1)，

MB

=(x2，y2+1)．
所以

MA

•

MB

=(x1，y1+1)•(x2，y2+1)
=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=-k²-1+k²+1=0．
所以MA⊥MB．
（2）设直线MA：y=k₁x-1；MB：y=k₂x-1，k₁k₂=-1
由

y=k1x-1 y=x2-1

，得

x=0 y=-1

或

x=k1 y=k12-1

，所以A(k1，k12-1)，
同理可得B(k2，k22-1)．
则S1=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

|k1k2|．
由

y=k1x-1 x2+(y-1)2=4

，得

x=0 y=-1

或

x= 4k1 1+2k12 y= 2k12-1 1+2k12

，所以D(

4k1

1+2k12

，

2k12-1

1+2k12

)，
同理可得E(

4k2

1+2 k 2 2

，

2k22-1

1+2 k 2 2

)．
∴S2=

1

2

|MD||ME|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

|16k1k2|

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

.

S1

S2

=λ=

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

16

=

5+2( 1 k 2 1 + k 2 1 )

16

≥

9

16

．
所以λ的取值范围是[

9

16

，+∞)．

点评：本题考查了直线与圆、直线与圆锥曲线的关系，考查了利用向量的数量积判断两条直线垂直，训练了利用基本不等式求最值，解答此类问题时，设点而不解点是常用的方法，关键是灵活运用题目所给条件，把看似比较分散的问题，集中到与求解结果相关的路子上，是有一定难度题目．