Question

x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0．求证：方程x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

Answer 1

【答案】分析：先由x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，得到关于x₁与x₂的两个等式，再设f（x）=x²+bx+c，利用条件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可说明方程x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．
解答：证明：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有
设f（x）=x²+bx+c，
则f（x₁）=x₁²+bx₁+c=-x₁²，
f（x₂）=x₂²+bx₂+c=x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．
点评：本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．